Matematiikka

[saarikko]

Mihin käytännön asiaan tollasta tietoa tarvitaan?

Menee samaan kategoriaan kysymyksen "Mihin käytännön asiaan mitään teoreettista matematiikkaa tarvitaan"? Itse en nyt näkisi että kysymys on hirveen oleellinen, sillä kysymys on matemaattisesti mielekäs riippumatta sen käytännön sovelluksista.

Kyllä minä ihan aidon kysymyksen esitin. Vastaukseksi olisi riittänyt en tiedä.

[Aleksi T]

Mihin käytännön asiaan tollasta tietoa tarvitaan?

Menee samaan kategoriaan kysymyksen "Mihin käytännön asiaan mitään teoreettista matematiikkaa tarvitaan"? Itse en nyt näkisi että kysymys on hirveen oleellinen, sillä kysymys on matemaattisesti mielekäs riippumatta sen käytännön sovelluksista.

Kyllä minä ihan aidon kysymyksen esitin. Vastaukseksi olisi riittänyt en tiedä.

Parempi vastaus on "toivottavasti ei mihinkään". Toinen vastaus on, että jutulla on sama käytännön merkitys kuin taiteella noin yleensäkin. Kolmas vastaus on, että se viihdyttää niitä pervoja, joita tällaiset asiat kiinnostavat. Tosin en tiedä onko huvittuminen tai viihtyminen nimenomaan käytännön asioita vai mitä.

[Pauli]

Vielä parempi vastaus on, että lähes kaikkiin käytännön asioihin, joilla matematiikalla on edes jonkinnäköistä vaikutusta (eli lähes kaikkeen). Jos symboleja jotka merkitsevät määrättyä lukua ei olisi yksikäsitteisesti määritelty, niin mistä kukaan tietäisi mitä tarkoitetaan symbolilla 1 tai symbolilla 2 jne..

[saarikko]

Mulla ei ole ollut ongelmia käsittää matematiikkaa, sikäli kun muistan. Mutta, sidonnaisuus siihen mihin tuota formaalista tiedettä käytetään jäi ärsyttävän vähäiseksi. Lienee tänä vuonnakin asiasta uutisoitukin opetukseen liittyen.

Pliis. Yrittäkää antaa jokin konkreettinen esimerkki, muu kuin itsensä hively.

[Pauli]

No ainakaan itse en ymmärrä, että mitä sinä itseasiassa tarkalleen ottaen olet kysymässä?

[saarikko]

No ainakaan itse en ymmärrä, että mitä sinä itseasiassa tarkalleen ottaen olet kysymässä?

Vaikka aiheuttaako kyseiset määrittelyt ongelmia tietokoneiden toiminnassa? Tai jossain? Konkretiaa, milä voisin sitoa tuon tiedon johonkin.

[Aleksi T]

Mulla ei ole ollut ongelmia käsittää matematiikkaa, sikäli kun muistan. Mutta, sidonnaisuus siihen mihin tuota formaalista tiedettä käytetään jäi ärsyttävän vähäiseksi. Lienee tänä vuonnakin asiasta uutisoitukin opetukseen liittyen.

Pliis. Yrittäkää antaa jokin konkreettinen esimerkki, muu kuin itsensä hively.

Niin yritätkö siis kysyä, että mihin vaikka 0,999.... = 1 -todistusta käytetään arkielämässä, jos käytetään, vai mihin matematiikkaa ylipäätänsä käytetään arkielämässä? Jälkimmäiseen menee kaikki mahdollinen teknologia ja tieteet yleensä. Humanistisillakin aloilla käytetään tilastollisia menetelmiä jne. Ensiksi mainittu onkin sitten matematiikan itsensä ymmärtämistä ja sen opettelua, mitä matemaattinen päättelyä oikeasti on. Eihän tuo todistus kerro meille ns. tosielämästä mitään, mutta se kertoo matematiikasta paljonkin ja auttaa ymmärtämään sitä, mitä matematiikka oikeastaan on itsessään.

[Totte]

Tottakai se on.. Mutta se ei muuta sitä, että kysymykseen tuollaisenaan on monta eri vastausta.

No tietenkin jos oikein tarkkoja ollaan niin olisi eksplisiittisesti pitänyt sanoa että kyse on ihan peruskoulusta tutusta merkinnästä, eikä merkinnästä joka vaatii yliopisto-opintoja että sen voi ymmärtää (väärin ).

Merkintä 0.999... ei edes mielestäni ole aivan yksikäsitteinen merkintä hyperreaaliluvulle ellei erikseen kerrota että onko kyseessä esim. luokka [0.9, 0.99, 0.999, ...] vai [0.999, 0.999999, 0.999999999, ...] (joka muuten olisi sen ensimmäisen hyperreaalin ja ykkösen välillä ). Ottaen huomioon viitekehyksen missä kirjoitetaan niin on aivan päivänselvää että tässä tapauksessa merkinnällä tarkoitettiin reaalilukua. Aivan yhtä selvää on että merkintä 1 tarkoitti kyseistä reaalilukua eikä esim. identtistä kuvausta tai S^1:n perusryhmän neutraalialkiota, vaikka merkintää 1 on käytetty molemmissa merkityksessä jopa paljon laajemmin kuin merkintää 0.999... hyperreaalille (mitä en ole itse koskaan nähnyt).

Jatkoa varten kerrotaan nyt kuitenkin erikseen että kyse on tutusta reaalilukua tarkoittavasta merkinnästä joka on kaikille tuttu kun esim. kirjoitetaan 1/3=0,333...

Ja kysymykseen mihin tätä voi soveltaa. Ei näin pientä asiaa voida soveltaa suoraan oikein mihinkään. Teoreettisen matikan tarkoitus ei ole olla sovellettavissa, vaan tutkia itse matematiikka. Kun ymmärrys itse matematiikasta kehittyy niin syntyy kuitenkin siinä sivussa sovelluksia, joita ilman nyky-yhteiskunta ei pyörisi. Monimutkaiset sovellukset kuitenkin rakentuvat perusteiden päälle, joten vaikka perusteiden ymmärrys ei suoraan antaisi mitään hienoa sovellusta, niin se mahdollistaa jatkotutkimisen joka usein synnyttää sovelluksia.

Aina kun joku uusi matematiikan haara syntyy niin joku on sitä mieltä että se on niin teoreettista että "siitä ei ole mitään hyötyä". Melkein kaikelle matikalla löytyy kuitenkin käyttöä, joko nyt tai tulevaisuudessa. Esim. tietokoneiden synty avasi oven uudelle kirjolle sovelluksia missä käytetään matikkaa joka oli ennen vain "teoreettista pyörittelyä".

[Lasse Candé]

Saarikko kysyy kyllä ihan asiaa. Vastaus on luultavasti ettei tuota suoranaisesti tarvitse juuri mihinkään. (Ja olen tässä mitä luultavimmin väärässä. Matematiikan moninaiset sovellukset yllättävät. Arvaisin että tietokonepuolelta esim voisi jotain löytyä.) Kyse on ajatusrakennelmista ja siitä sopasta voi ammentaa. Matemaatikot ja fyysikot käyttävät tuota kyseistä esimerkkiä opettelussa ja parantavat näin ymmärrystä esim raja-arvon käsittämisestä. Raja-arvoa tarvitaan konkreettisesti moniin fysiikan suureisiin joita voidaan mitata hetkellisesti. Näillä matematiikan käsitteillä nämä asiat voidaan määritellä täsmällisesti. Esim hetkellinen nopeus edellyttää pohjimmiltaan tätä ajattelua. Saarikon kysymys on mielestäni täysin oikeutettu ja paikallaan, näin matematiikkaa jonkin verran opiskelleena fysiikkaa pitkän matematiikan oppilaille opettavana. Heille näitä pitää avata ja tietävät jo paljon. Miksei siis täälläkin?

[Jutoka]

Mihin käytännön asiaan tollasta tietoa tarvitaan?

Menee samaan kategoriaan kysymyksen "Mihin käytännön asiaan mitään teoreettista matematiikkaa tarvitaan"? Itse en nyt näkisi että kysymys on hirveen oleellinen, sillä kysymys on matemaattisesti mielekäs riippumatta sen käytännön sovelluksista.

Kyllä minä ihan aidon kysymyksen esitin. Vastaukseksi olisi riittänyt en tiedä.

Totte ei tainnut tarkoittaa vastauksellaan vastausta "en tiedä". Sen sisältö taisi kuulua ennemminkin tyyliin "ei kiinnosta, olen matemaatikko".

[Totte]

Tai sitten tuo kysymys vaikutti (tahallisesti tai tahattomasti) vähän alentavalta tuossa asiayhteydessä?

Jos todistus on mielestäni jollain tavalla virheellinen niin kerro toki. Muuten keskustelua voidaan varmaan jatkaa sen pohjalta että todistus pätee, ja että kahden erisuuren reaaliluvun välistä löytyy aina reaaliluku.

Sinänsä tästä vääntäminen on turhaa, koska nämä ovat määrittelykysymyksiä.

Ei ole. Molemmat luvut ovat yksikäsitteisesti määriteltyjä.

Mihin käytännön asiaan tollasta tietoa tarvitaan?

[Pauli]

Itse näkisin, että kyseistä konventiota tarvitaan koska asiat on määritelty niin kuin ne ovat. Jos esimerkiksi rakennetaan reaaliluvut Dedekindin leikkauksilla, niin 0,999...=1 on hyvin pitkälle "sisään rakennettuna" reaalilukujen määritelmään. Jos lähdemme muokkaamaan tätä erilaiseksi struktuuriksi jossa ne eivät ole yhtä suuret, niin voimme saada johdonmukaisen systeemin, mutta aivan varmasti joudutaan keksimään uusia asioita ja/tai hylkäämään vanhoja aritmetiikan sääntöjä. Tälläisten systeemien käyttökelpoisuus joissa esimerkiksi 1/3:lla ei ole desimaaliesitystä on taas sitten asia erikseen.
Ja tätä kautta näkisin, että sitä tarvitaan lähes kaikkeen maailmassa.

[saarikko]

Kiitos vastauksista, varsinkin Lasse. "Jollei minua todistuksin ja selvin järkisyin saada vakuuttuneeksi.."

Jotenkin tyytyväisenä hämmästyin, etten aiheuttanut omalla tyylilläni mitään flamea , joka mun kirjoitustyylillä on perin vaikeaa. Siispä toivon, että pidetään tää säie matematiikassa.

[Totte]

Noh, ovatko kaikki nyt, edellä mainitun tarkennuksin, vakuuttuneita että 0,999... = 1?

***

Pauli, onko Dedekindin leikkauksien käytössä mitään selkeää etua Cauchyn jonojen käyttöön nähden? Itse olen tietoinen miten homma toimii Dedekindin leikkausten avulla, mutta se on aina mielestäni ollut sotkuista, enkä ole jaksanut perehtyä siihen syvällisemmin. Jonojen käyttö taas on minulle intuitiivista ja mielestäni "kertoo" enemmän mitä oikeasti tapahtuu. Lisäksi samansuuntaista menetelmää voidaan käyttää kun konstruoidaan hyperreaaliluvut, jolloin tulee mielestäni "luonnollinen" kehitys rationaaliluvut -> reaaliluvut -> hyperreaaliluvut.

[MtJ]

(Ja olen tässä mitä luultavimmin väärässä. Matematiikan moninaiset sovellukset yllättävät. Arvaisin että tietokonepuolelta esim voisi jotain löytyä.)

Jos pohditaan asiaa tietotekniikan kannalta, niinkuin tietysti itse automaattisesti aina aivoni naksautan, niin laskun 1-0,999... riippuu siitä, mitä tarkkuutta halutaan vastaukseksi ja tulos on aina automaattisesti "jotakin". Esim. Double, Float, Decimal...

Tällöin voisi yleiskielellä sanoa, että määrittelyn pohjana oleva "template" määrittää myös tälle laskulle arvon, joka sitoo sen myös tiukasti siihen kontekstiin, jossa määrittely tapahtuu. Käytännön sovelluksissa laskulle 1-0,999... on aina tultava jokin vastaus, joka riippuu määrittelystä.