Moi! Luo tili ja ota osaa iloiseen keskusteluun. 🙂

Matematiikka

Pannu aina kuumana ja pöydissä tilaa. Keskustelua kamppailulajien ulkopuolelta huumoria unohtamatta. :)

Valvoja: Valvoja

Vastaa
Lasse Candé
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 100
Viestit: 17072
Lauteille: Joulukuu 2007
Tykännyt: 4 kertaa
Tykätty: 2 kertaa

Matematiikka

#436

Viesti Lasse Candé »

Hyvä vaikka helppo. Palaan kun olen selvinpäin ja ehdin formuloida. Sopisi yo-kirjoituksiin, kumpaan varianttiin tahansa. Yhtälön muodostus on aina kaiken a ja o. Ratkaisu on helppoa.

Kuvake
Totte
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 81
Viestit: 4384
Lauteille: Toukokuu 2008
Paikkakunta: Helsinki
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#437

Viesti Totte »

Lasse Candé kirjoitti: Hyvä vaikka helppo. Palaan kun olen selvinpäin ja ehdin formuloida. Sopisi yo-kirjoituksiin, kumpaan varianttiin tahansa. Yhtälön muodostus on aina kaiken a ja o. Ratkaisu on helppoa.
Älä selviä liian kauan, ettei mee viskipaukku sivu suun.
"Jos minulla olisi kaikki valta, etenisin tältä pohjalta, mutta harmi kyllä, minulla ei ole lainkaan valtaa."
- Osmo Soininvaara

Kristian Hyvärinen
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 15
Viestit: 6486
Lauteille: Kesäkuu 2006
Paikkakunta: Tampere
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#438

Viesti Kristian Hyvärinen »

Hei, ton mäkin pystyn ratkaisemaan! :D Antakaa köyhälle tilaisuus.

Vaikka en edes juo viskiä. 8-)
If you're not perfect, there's something wrong with you.
- George Carlin

En allekirjoita mitään, mitä olen sanonut yli vuosi sitten, ellen toisin mainitse. Kohtelen sitä varhaisempia tuotoksia jonkun toisen kirjoittamina viesteinä ja ajatuksina.

Lasse Candé
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 100
Viestit: 17072
Lauteille: Joulukuu 2007
Tykännyt: 4 kertaa
Tykätty: 2 kertaa

Matematiikka

#439

Viesti Lasse Candé »

Totte kirjoitti:
Lasse Candé kirjoitti: Hyvä vaikka helppo. Palaan kun olen selvinpäin ja ehdin formuloida. Sopisi yo-kirjoituksiin, kumpaan varianttiin tahansa. Yhtälön muodostus on aina kaiken a ja o. Ratkaisu on helppoa.
Älä selviä liian kauan, ettei mee viskipaukku sivu suun.
Jätkällä kyllä ihan hyvät viskit, joten joskos sovittaisiin että mä otan omani mukaan, vaihdellaan...
ja sitten jauhetaan mitä kaikkea tästä ongelmasta voikaan löytyä?

Kuvake
Totte
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 81
Viestit: 4384
Lauteille: Toukokuu 2008
Paikkakunta: Helsinki
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Re: Matematiikka

#440

Viesti Totte »

Joo, kyl sä sitä viskiä saat vaikka et ratkasua täällä esitäkkään :D
"Jos minulla olisi kaikki valta, etenisin tältä pohjalta, mutta harmi kyllä, minulla ei ole lainkaan valtaa."
- Osmo Soininvaara

Lasse Candé
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 100
Viestit: 17072
Lauteille: Joulukuu 2007
Tykännyt: 4 kertaa
Tykätty: 2 kertaa

Matematiikka

#441

Viesti Lasse Candé »

Totte kirjoitti: Nyt @Lasse Candé on täydellinen tehtävä!

Sultakin varmaan joku kysyy "Mut ope mihin mä koskaan tuun algebraa tarvitsemaan!?!?!". No nyt tähän ikiaikaiseen kysymykseen on selkeä ja käytännönläheinen vastaus.

Me pullotettiin sima tänään. Tiedetään, että sima valmistuu seitsemässä päivässä jääkaapissa ja kolmessa päivässä huoneenlämmössä. Vappuun on viisi päivää, joten jos ne jättää huoneenlämpöön ne menee yli, mutta jos ne laittaa suoraan jääkaappiin ne ei valmistu ajoissa. Ratkaisu on selkeästi, että ne on huoneenlämmössä jonkun aikaa jonka jälkeen ne laitetaan jääkaappiin.

Kysymys: Kuinka monta päivää pullojen pitää olla huoneenlämmössä ennen kun ne laitetaan jääkaappiin jos halutaan, että ne valmistuu juuri ajoissa vappuun, mutta ei mene yli.

Ja odota. Tämä paranee. Ratkaisu sattuu jopa olemaan helppo murtoluku, joten se soveltuu täydellisesti tehtäväksi! Saa käyttää opetuksessa ilman royaltimaksuja.

Ensimmäinen potkulainen joka esittää oikean ratkaisun saa ylimääräisen viskiannoksen viski-illassa (jos ei osallistu, palkinto raukeaa).
Merkitään jääkaappipäivien määrää x:llä, jolloin huoneenlämpöpäivien määräksi tulee optimaalisessa tapauksessa 5 - x päivää.

Yhdessä päivässä jääkaapissa siman valmistuminen etenee 1/7 prosessista ja huoneenlämmössä 1/3 siitä. (Jätetään merkitsemättä kirjaimella kun en nyt jaksa keksiä sopivaa suuretta prosessin etenemiselle. Tällä tavoin valmista prosessia edustaa luku 1. En jaksa muuttaa prosenteiksi, mikä olisi tietenkin ihan hyvä esitystapa.)

Saadaan siis optimaalista viiden päivän suoritusta vastaava yhtälö
1/7 * x + 1/3 * (5 - x) = 1, josta
(1/7 - 1/3) * x + 1/3 * 5 = 1, josta
- 4/21 * x = - 2/3 ( = - 14/21), josta
x = (- 14/21) / (- 4/21) = 3½.

Vastaus: Kolme ja puoli päivää kylmässä, puolitoista päivää lämpimässä.


Tehtävä on hyvin analoginen nopeus-aika-matka -tehtävien kanssa, jos saa jotenkin pähkäiltyä minkälainen tilanne olisi sellainen että on kaksi eri ajonopeutta ja perilläolon tavoiteaika tiedetään. Nopeusrajoitukset kun taas kytkeytyisivät oikeassa maailmassa ajan sijaan paikkaan ja sellaisesta tehtävästä (saapumisaika on kysymysmerkki) tulee liian helppo...

Tässä tehtävässä haasteellista on hokata että on olemassa jokin prosessia kuvaava (matkalle analoginen) suure joka pitää jollain tasolla huomioida. Tälle pitää myös keksiä jokin nimi ja uskaltaa käyttää sitä, joten tehtävässä on myös kielellinen ulottuvuus. Tehtävä on myös helppo ratkaista kokeilemalla. Kun olin matikan ope, filosofiani oli että kaikki menetelmät opetellaan kurssien kontekstissa ja kokeet mittaavat ensi kädessä niitä. Yo-kirjoitukset sen sijaan ovat kypsyyskoe, jolloin taas kokeillaan "matematiikalla", mutta jos ei mene, niin sitten vaikka kirjoitetaan aine, missä näytetään että tiedetään vastaus ja näytetään lukijalle että se on oikea. Tällainen ajattelu nostaa vanhanaikaisten karvat pystyyn, mutta niin se oikea elämä toimii, niin matematiikkakin monesti toimii ja yo-lautakunnassa on järkevää väkeä. Arvaus muuten on matematiikassa täysin validi menetelmä jos todisteet löytyvät jälkikäteen. Itseasiassa matemaattinen työskentely on aina pimeässä hapuilua tietämättä määränpäätä tai seuraavaa pysäkkiä. Muutenhan se olisi pelkkää vastaustekstin mekaanista kirjoittamista. Prosessi on aina yritteiden ja testaamisen vuorottelua vaikka tästä iso osa tapahtuisikin pelkästään pään sisällä.

Kuvake
sivarinlötkö
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 12
Viestit: 6844
Lauteille: Kesäkuu 2005
Paikkakunta: Turku
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#442

Viesti sivarinlötkö »

Tehtävä: Perustele, miksi tai miten pii on jaksollinen.

Aihki
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 20
Viestit: 5939
Lauteille: Joulukuu 2010
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#443

Viesti Aihki »

??????????????????????????????????????????????????

Lasse Candé
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 100
Viestit: 17072
Lauteille: Joulukuu 2007
Tykännyt: 4 kertaa
Tykätty: 2 kertaa

Matematiikka

#444

Viesti Lasse Candé »

Tehtävä: Trollaa paremmin.

Aihki
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 20
Viestit: 5939
Lauteille: Joulukuu 2010
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#445

Viesti Aihki »

Tehtävä: Hae tai kehitä geometria, jossa Pii on jaksollinen (normaalissa euklidisessa ei ole).

tabitha
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 5
Viestit: 6065
Lauteille: Toukokuu 2005
Paikkakunta: Helsinki
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#446

Viesti tabitha »

Mä mietin että jos korvaisi euklidisen normin määräämän metriikan (siis että pisteiden etäisyys toisistaan on pisteitä kuvaavien vektorien erotuksen sisätulo itsensä kanssa ja tästä neliöjuuri) jollain muulla metriikalla, niin olisiko tällaisessa metrisessä avaruudessa "pii" (ympyrän kehän suhde halkaisijaan) mahdollisesti muu kuin irrationaaliluku. Ympyrä sinänsä on määritelty kunhan on metriikka, se on jostain pisteestä tasan tietyn etäisyyden päässä olevien pisteiden joukko.

Mutta homma kuivuu kasaan tässä vaiheessa koska mä en osaa laskea ympyrän kehän pituutta vaikkapa taksinkuljettajan metriikassa. Mittateoreettinen ongelma tämä kai on ja työkalut pitäis olla...

Mut siis kysyn paremmin tietäviltä että jos meillä on vaikka taso R^2 ja metriikka d((x1,x2),(y1,y2)) = abs(x1-y1+x2-y2) eli taksinkuljettajan metriikka, onko yksikköympyrän kehän pituus tässä sitten 8? Vai muuttuuko sen kehän pituus siitä ollenkaan miten se olisi tavallisen metriikan kanssa? Yksikköympyrä on neliö jonka kärkipisteet ovat (1,0), (0,1), (-1,0) ja (0,-1). Mutta päähän sattuu kun mietin miten neliön sivujen pituus pitäisi määritellä kun meillä on eri metriikka. Sinänsä kahden pisteen välinen lyhin reitti ei ole yksikäsitteinen tässä metriikassa.

Niin ja joo tiedän kyllä ettei pii sinänsä muutu vaikka geometria muuttuisikin, koska pii liittyy e:hen ja e liittyy vähän muihin juttuihin. Tai no joo. Ehkä mä en vaan tiedä tarpeeksi.
Eerik Norvio
Wer mit Ungeheuern kämpft, mag zusehn, dass er nicht dabei zum Ungeheuer wird. Und wenn du lange in einen Abgrund blickst, blickt der Abgrund auch in dich hinein. -Friedrich Nietzsche

Aihki
päähänpotkija
Viestit tässä aiheessa: 20
Viestit: 5939
Lauteille: Joulukuu 2010
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#447

Viesti Aihki »

Mielenkiintoinen ongelma tuo metriikka. Muistan joskus jostain syystä haeskelleeni piin suurinta ja pienintä mahdollista arvoa ja löysinkin artikkelin, joka käsitteli asiaa, tulipa sitten sama ongelma kerran esille kun juttelin Toten kanssa ja en enää onnistunut tuota artikkelia löytämään.

Ensimmäinen mieleen tullut pii ( :D ) olisi tuossa tapauksesa 4, mutta en ole siitä ollenkaan varma. Pallopinnalla taidetaan päästä arvoon 2 rajatapauksessa, siellä pii muuten vaihtelee.

Laari
ilmaanpotkija
Viestit tässä aiheessa: 1
Viestit: 8
Lauteille: Helmikuu 2009
Paikkakunta: Helsinki
Etulaji: Paluu tatamille
Takalajit: take, kake
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#448

Viesti Laari »

Tappeluaiheisiin ketjuihin mulla ei ole hirveästi annettavaa, mutta ehkä mä tähän uskallan kommentoida :ari:
tabitha kirjoitti: ...

Mut siis kysyn paremmin tietäviltä että jos meillä on vaikka taso R^2 ja metriikka d((x1,x2),(y1,y2)) = abs(x1-y1+x2-y2) eli taksinkuljettajan metriikka, onko yksikköympyrän kehän pituus tässä sitten 8? Vai muuttuuko sen kehän pituus siitä ollenkaan miten se olisi tavallisen metriikan kanssa? Yksikköympyrä on neliö jonka kärkipisteet ovat (1,0), (0,1), (-1,0) ja (0,-1). Mutta päähän sattuu kun mietin miten neliön sivujen pituus pitäisi määritellä kun meillä on eri metriikka. Sinänsä kahden pisteen välinen lyhin reitti ei ole yksikäsitteinen tässä metriikassa.

...
1. Todennäköisesti tarkoitat d((x1,x2),(y1,y2)) = abs(x1-y1) + abs(x2-y2), eli tuttavallisemmin "ykkösnormi" kun kyseessä on vektoriavaruus (R^2).

2. Käyrän pituuden voi määritellä suurinpiirtein näin. Ota käyrältä N kpl pisteitä x_i siten, että eka on käyrän alussa ja viimeinen lopussa, ja loput on jotenkin järkevästi. Näin saadaan "arvio" käyrän pituudelle:
L = \sum_i d(x_i, x_{i-1})
missä d(., .) on mikä hyvänsä metriikka (eli saat euklidiselle eri arvon kuin taksikuskille). Käyrän pituus on sitten raja-arvo, kun N menee äärettömään.

Suoran pätkille tuon laskun pitäisi olla erityisen suoraviivainen, koska tihennys (isompi N) ei vaikuta lopputulokseen. Eli jokaisen neljänneksen pituus pitäisi olla 2, yhteensä tulee 8.

3. Ei mulla muuta.

Kuvake
Totte
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 81
Viestit: 4384
Lauteille: Toukokuu 2008
Paikkakunta: Helsinki
Tykännyt: 0
Tykätty: 0

Matematiikka

#449

Viesti Totte »

Sanoisin, että yllä oleva on oikein.

Itse ajattelisin asian näin:

Ympyrän määritelmä on {x \in R^2 : d(x,0)=1}, missä x on vektori, 0 on origo ja 1 on ympyrän säde. Tuolla metriikalla missä ympyrästä tulee itse asiassa salmiakkikuvio, missä origo on (0,0) ja kärjet ovat (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Mikäli tämä ei ole selvää, voi poimia pisteen muualta kun kärjestä. Erikoistapaus voisi olla esim. (0.5,0.5) jonka etäisyys orikosta on 0.5+0.5=1, mutta yhtä lailla esim 1/4 ja 3/4 käy, ja huomataan, että ne pisteet tosiaan muodostaa sen salmiakin.

Ympärysmitan laskisin yksinkertaisesti siten, että summaisin sivujen pituudet. Sivujen pituus lasketaan sen alku- ja päätepisteen erotuksena, ja koska meillä on uusi metriikka käytössä saadaan pituudeksi, d((0,1),(1,0))=|0-1|+|1-0|=2. Sivuja on neljä, joten ympärysmitta on 4*2=8. Halkaisija d=2*r=2*1=2, joten pi on 8/2=4.

Tämä on nyt täsmälleen samaa asiaa kuin edellisellä kirjoittajalla, mutta vähän eri vinkkelistä sanottu. Tihennyksestä ei mielestäni tarvitse tässä huolehtia koska me saadaan se laskettua suoraan, vaikka sillä tavalla se määritelmällisesti menisikin.
"Jos minulla olisi kaikki valta, etenisin tältä pohjalta, mutta harmi kyllä, minulla ei ole lainkaan valtaa."
- Osmo Soininvaara

Lasse Candé
etupotkija
Viestit tässä aiheessa: 100
Viestit: 17072
Lauteille: Joulukuu 2007
Tykännyt: 4 kertaa
Tykätty: 2 kertaa

Matematiikka

#450

Viesti Lasse Candé »

Näkisin että tässä on tärkeä erottaa metriikka ja geometria toisistaan.
Miten rajusti joutuu vaikkapa Hilbertin aksioomia säätämään jotta taksimetriikka toimii ja edellä mainittu on sen ympyrä? Sanoisin että jo suoran ja janan käsitteiden kanssa tulee ongelmia about lähtöviivalla ja voi todellakin kyseenalaistaa missä määrin kyseinen salmiakki on ympyrä.

Pallogeometriakaan ei ole siinä mielessä neutraaligeometria että siinä kusee aika paljon muutakin kuin parallelliaksiooma, joka taas itse asiassa jopa pätee siinä, vaikka jokainen "suora" (jos nämä määritellään vastaamaan havaintomaailmamme isoympyrää) leikkaakin. (Viikko sitten sattumalta tutkin jokaisen Hilbertin aksiooman mielekkyyttä geometriassa ja hyvin moni kusee.) Siinä piin määrittely kusee jo siltä pohjalta että kun ympyrä ensiksi kiinnitetään jollain keskipisteellä ja säteellä ("jana"), huomataan että ympyrällä on kaksi keskipistettä, jolloin sädepituuksia saattaa olla kaksi tai jos oikein kiertelee, useita.

Sanottakoon nyt että jos pohjoisnavalta piirtää pienen ympyrän, on pii likimain omamme, kun pallopinta on likimain taso. Jos taas ympyrä on päiväntasaaja ja säde siis kaari pohjoisnavalta sinne, on pii 2. Siitä jos jatkaa etelänpään mutta tulkitsee vielä pohjoisnavan keskipisteeksi saadaan pii niin pieneksi kuin halutaan.

Valitettavasti allekirjoittaneella ei ole taidollisia välineitä minkään neutraaligeometrian mittauksiin ja niiltä osin vähän tarjottavaa Aihkin pohdintaan. Kiinnostaisi kyllä tietää onko moinen mahdollista ja tosiaankin voisiko tämä toimia jotenkin jossakin neutraaligeometriassa, ja miten mitat tällöin määritellään.

Vastaa

Lauteilla

Käyttäjiä lukemassa tätä aluetta: Ei rekisteröityneitä käyttäjiä ja 2 kurkkijaa