Matematiikka

[TimoS]

Kaavassa on otettu huomioon sää (W), velat (D), tulot (d), joulusta kulunut aika (T), uudenvuodenlupausten rikkomisesta kulunut aika (Q), motivaation taso (M) ja tarve ryhtyä toimeen (Na). Aiheesta uutisoi muun muassa Aftonbladet.

Huono kaava, koska jos motivaatio on nollassa, vastaus on ääretön. Tai jos ei ole tehnyt uudenvuoden lupauksia, niin silloin ei voi rikkoa niitä. Onko vastaus silloin 0?

[Lasse Candé]

Kaavasta on vaikea sanoa mitään kun ei ole tarkempaa tietoa minkälaisia arvoja milläkin perusteella annetaan ja miten lopputulos luetaan.

Puhdasta matematiikkaa tuossa on vain kaava ja siinä olevat menetelmät. Kaikki muu on jotain muuta. Tyypillinen kuvio soveltavaa matematiikkaa. Matematiikan kaavalla pyritään mallintamaan jotain käytännön juttua. Matematiikka ei koskaan ole syypää siihen jos juttu kusee. Olisi pitänyt valita parempaa matematiikkaa.

[kivi]

Hevostila pyrkii aitaamaan mahdollisimman suuren suorakulmion muotoisen laitumen ja jakamaan sen kahteen yhtäsuureen osaan sivujen suuntaisella aidalla. Aitaa on käytettävissä 360 metriä. Määritä laitumen sivujen pituus ja leveys.

Tämmöinen löytyi matematiikan kirjastani. tässä sitä on yritetty miettiä että mitenkä tuon voi matemaattisesti oikein todistaa. Sain kyllä oikean tuloksen ainakin kirjan takaosan mukaan, mutta en oikein usko että laskutoimitukseni kelpaisivat eteenpäin, koska en osaa sanoa että miten ne todistavat tuloksen optimaaliseksi.

paljastus:

tulokset olivat 90m ja 60m

Edit : paljastuksessa oikeat vastaukset, ilman laskutoimituksia, siis pelkät sivujen mitat. Jos niitä ei nyt joku jostain syystä halua tietää.

Edit 2 : vahinko hymiö poistettu.

[MtJ]

Suorakulmion muotoiset aitaukset, joten kaksi sivua ovat pidempiä kuin toiset kaksi. Mietitäänpä ensin. Jos jaetaan suorakulmiot pitkien sivujen keskeltä kahtia aidalla;

360/4=90m -> Pitkät sivut ovat 90m.
2*90=180m.
360-180=180m.
180/3=60m. (Koska aitoja tulee 3kpl)

edit; kivi ehti poistaa hauskan laskutehtävän, noh vastasin kuitenkin
edit2: ei poistanutkaan

[MtJ]

Matemaattinen kaava luodin lentoradalle siten, että lasketaan Ballistic Coefficient, otetaan huomioon tuulen suunta, ilmantiheys, ilmanpaine ja lämpötila? Onko näille kokoavaa kaavaa varsinaisesti?

Itse laskeskelin sitä tämäntapaisesti (kts. esimerkkejä sivulta 32 alkaen), mutta kaavoja on käsittääkseni muitakin?

Onko joillakin valmiita ballistisia kaavoja, jossa otetaan huomioon BC, tuulen suunta, lämpötila, ilmantiheys ja ilmanpaine (=air density)?

[Lasse Candé]

Ellet kivi osaa suoraan muodostaa yhden muuttujan funktiota, jossa muuttuja esim kuvastaa seinän suuntaista sivua tai sitä toista, niin muodosta yhtälö kahdella muuttujalla jossa on kaikki aidanpätkät ja sitten aidanpätkien summa on oliko se nyt 360. Sen jälkeen pähkäilet sitten miten saat toisen kirjaimen eliminoitua yhtälöstä ja muistat että sivujen tulo antaa pinta-alan.
Toisinsanoen sulla on funktio pinta-ala x:n funktiona:
A(x) = x * [se miten saat sen toisen sivun kirjoitettua ympärysmittainfon avulla].
Sulkujen avaamisen jälkeen sulla on toisen asteen funktio jonka derivaatan nollakohdasta löytyy valitsemasi x:n suuruus.

Funktion lopullinen muodostaminen ei ole vaikeaa, mutta jää kotitehtäväksi, kuten derivointi ja nollakohdan etsiminenkin.

Nämä ovat klassisia derivoimistehtäviä, joten mainitsemani tapa on se mitä tehtävällä peräänkuulutetaan mitä varmimmin. Aiemmassakin vaiheessa on mahdollista tutkia asiaa parabelin symmetrisyyden nojalla.

[Aihki]

Itse laskeskelin sitä tämäntapaisesti (kts. esimerkkejä sivulta 32 alkaen), mutta kaavoja on käsittääkseni muitakin?

Oletan että kvg Wiki external ballistics. Siellä näkyi olevan osoitteita joihinkin softiin? Ilmalle: lämpötila, kosteus, ilmanpaine> tiheys. Ilmeisesti parhaat mallit vaatii PC aikaa rutosti, no sitähän on.

[MtJ]

Jep, mutta tässä on se ongelma, että ne on valmiita softia, joiden ballistiikkakaavat on salaisuuksia Tm. Ja tarkoitus olisi jalostaa yhdestä ajatuksesta pala koodia, eli toisin sanoen kätsy luokka, johon voisi tarvittaessa viitata, kun lasketaan omassa softassa esimerkiksi luodin ballistiikkaa.

Valmiita softia on kyllä kovastikin, mutta tällä kertaa ne ei oikein riitä, kun jostain pitäisi löytyä se varsinainen matemaattinen laskelma... Tai ei tarvitse itse laskuja, pelkkä kaava riittäisi. Jos jollakulla sattuu olemaan esimerkiksi ballistiikkaa käsittelevä kirja käsissään, niin olisipa kätsyä nähdä se kaava ja pari esimerkkiä vaikka PDF-tiedostona

[Aihki]

Tai ei tarvitse itse laskuja, pelkkä kaava riittäisi.

Onhan nuo integraaliyhtälötkin kaavoja tietty. Heti kun joku suure on jonkin toisen funktio niin menee integraaliksi ja niitähän tässä nyt on, koska riippuvuuksia ei suurimmaksi osaksi tunneta funktio- vaan taulukkomuodossa niin menee numeeriseksi laskennaksi, joka tietty ei ole ongelma.

[MtJ]

Käytännössä olen koonnut jo kaikki suureet luokan sisälle valmiiksi funktioiksi. Siis mulla on jo laskentaa varten seuraavat asiat luokassa;
getApparentBallisticCoefficient
getVelocityInXDistance
getTimeOfFlight
getMach
getRealHorizontalRange
getBoreAngleCorrectionInRadians
getDistanceToTarget
getWindDeflection
getVerticalVelocity
getHorizontalVelocity
getTemperatureCorrectionFactor
getBarometricPressureCorrectionFactor

Mutta näiden tuloksia varten mulla on vain yksi varsinainen laskentatapa, mutta mun ymmärtääkseni kaavoja on muitakin. Siis miten painotetaan esimerkiksi BC:tä ja tuulikorjausta, ovatko ne samalla tavalla painotetut, kun lasketaan lopullinen osumapiste em. funktioiden pohjalta?

edit
Coriolis ja pari muuta pienempää suuretta on myös kaavoina.

[Lasse Candé]

En jaksanut kaivella paperia, niin tein tuon aitalaskun tähän viestikenttään ja nyt en malta olla postaamatta sitä.



Jos pätkiä jotka ovat seinässä kiinni merkitään x:llä ja niissä kiinni olevaa pätkää merkitään y:llä saadaan yhtälö
3x + y = 360,
josta edelleen
y = 360 - 3x.


Tällöin pinta-ala on funktio seinässä kiinni olevien pätkien mitasta suorakulmion pinta-alan laskusäännön nojalla seuraavasti:
A(x) = x(360 - 3x) = 360x - 3x^2.

Derivoidaan A(x) ja etsitään derivaatan nollakohta, jolloin saadaan
A'(x) = -6x + 360 ja edelleen
A'(x) = 0 <=> -6x + 360 = 0 <=> 6x = 360 <=> x = 60.

Koska x valittiin merkitsemään niiden pätkien mittaa joita on kolme, saadaan toinen mitta y alkuperäisestä yhtälöstä sijoituksella x = 60, jolloin saadaan
3*60 + y = 360 <=> 180 + y = 360 <=> y= 360 - 180 = 180.


Jos suorakulmion sivuilla tarkoitetaan kokonaisuuden sivuja on mitat 60 ja 180. Jos taas kysytään suuren suorakulmion puolikkaan mittoja, ne ovat selvästikin 60 ja 90.



En ymmärrä Mtj:n ratkaisua. Kaikki alkua seuraava pähkäily on alun oletuksella oikein, mutta joko minä ymmärrän tehtävätekstin väärin tai sitten en tajua ensimmäistä askelta missä 360 jaetaan neljällä. Loppujen lopuksihan meillä on ymmärtääkseni neljä tai viisi pätkää, joista kolme on (ratkaisu tietäen) mitoiltaan 60m ja jäljelle jää 180m joko yhteen tai kahteen osaan, enkä ymmärrä kyseisen jakolaskun relevanssia. Se kun ei ota mitenkään kantaa pinta-alaan.

(Riippuen vaatimustasosta pitää vielä vedota joko paraabelin alaspäin aukeamiseen ja siihen että tällöin maksimi löytyy huipusta tai esim vertaukseen määritysjoukon ääripäiden kanssa, joissa molemmissa pinta-alaksi saadaan 0. Myös nuolikaaviota voidaan käyttää jossa tutkitaan derivaatan etumerkkiä x=60:n molemmin puolin.)










Noin yleisemmin tähän aiheeseen liittyen, tuo onkin hyvä filosofinen pohdinta, milloin vastaus on riittävä. Jaawan kanssa tästä kerran kännissä jauhettiinkin puhelimessa. Oikeastaan nyt eletään todella mielenkiintoisia aikoja kun kaikki laskimet sallittiin yo-kirjoituksissa. Sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa sallittiin esim yhtälöiden ratkaisussa menetelmä jossa kerrotaan ratkaisu ja perustellaan huolellisesti että se on saatu laskukoneesta. Näin ainakin opettajien pisteytysohjeessa. Ja laskijat pystyvät aikamoisiin juttuihin. Nyt en tarkoita pelkkiä likiarvoja. En ole vielä ihan varma mitä mieltä tuosta olen, mutta voin sanoa että minun ajatukset ovat paljon myönteisempiä kuin juuri kenenkään muun kenen kanssa olen jutellut. Hauska juttu muuten, että fysiikassa kyseinen menetelmä ei ole sallittu vaan juttu pitää osoittaa matemaattisesti paperilla. Joidenkin mielestä tämä menee vähän hassusti päin. (Itse en olisi tästäkään kovin äkkinäisesti tuota mieltä.)
Lisättäköön vielä että muutama tehtävä niin lyhyessä kuin pitkässäkin matematiikassa suorastaan huusi "syötä minut laskukoneeseen ja ota valmis vastaus". Itse spekuloin ennen koetta että kehitys olisi tehtävänlaadinnassa päinvastainen muutoksen myötä.

[kivi]

En nyt ole ihan varma että ymmörsinkö kaikkea Lassen viestistä, mutta vaikutti siltä kuin siinä olisi ollut jotain pielessä. Sen sijaan mtJ:in viesti vaikutti paljon ymmärrettävämmältä. Kun siis tuossa tehtävän tilanteessahan tuo aita olisi suorakulmainen aitaus, jonka halkaisee keskeltä sivujen suutnainen aita. Eli aitoja olisi siis 3 x mitaista ja kaksi y mittaista. Jotankin tuo Lassen viesti vaikutti antavan toisenlaisen kuvan.

Ja sitten tämän alkuperäisen kysymykseni syynä oli juurikin se, että en tiedä kuinka tarkkaa vastausta vaaditaan. Eli täytyykö pystyä osoittamaan se matemaattisesti että asia on näin. Elikkä siis mistä voin tarkalleen tietää että vastaukseni on optimaalinen. Onko siihen jotain sääntöä. Ja ihan noin yleisesti miettien, niin jos tiedetään nelikulmion piiri, niin onkon pinta-alaltaan suurin mahdollinen alua neliön muotoinen?

[Lasse Candé]

Mtj,

Katso tämä sivu wikipediasta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile" onclick="window.open(this.href);return false;

Sivu alkaa ilman ilmanvastusta ja sitten tulee mukaan se miten ilmanvastus vaikuttaa. Kun katselin Mtj alkuperäistä postaustasi niin käsittääkseni listasit joitain suureita BC:n lisäksi, jotka ovat jo sisäänleivottuna BC:een. Tällöin ne tulisi jättää pois joko BC:n ulkopuolelta tai olla käyttämättä BC:tä. Katsele, jos tuolta wikipediasta löytyisi jotain ajatuksia. Tässä on toinen sivu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_equation" onclick="window.open(this.href);return false;

Ja pari sivua lisää:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rifleman's_rule" onclick="window.open(this.href);return false;
http://www.ehow.com/how_5185428_calcula ... ctory.html" onclick="window.open(this.href);return false;


En nyt ehdi perehtyä.. Aikalailla googlejutsulla siis mennään. Tuo viimeinen varsinkin voisi olla hyödyllinen, mikäli kaavat ovat oikein ja riittävän tarkat mallintamiseen.

[Lasse Candé]

kivi,


Siis näinkö?

Koodi: Valitse kaikki

===================
|        |        |
|        |        |    x
|        |        |
-------------------
     y       y

Missä ============== on seinä jota vasten juttu laitetaan ja loput viivat (en saa noita yhteen) edustavat käytettävää aitaa?

Tällöin meillä olisi kolme x:n mittaista pätkää ja kaksi y:n. Silloin pätkät määrittävä yhtälö olisi 2y + 3x = 360.

Minä kuitenkin merkitsin edellä kahta peräkkäin olevaa pätkää y:llä, jolloin y + 3x = 360. Tällä ei ole mitään väliä, sillä jaoin sen sitten lopuksi kahdella.


Minä taas en ymmärrä Mtj:n järkeilyä, sillä ensimmäinen askeleensa ei ota kantaa pinta-alaan. Maksimeja etsiessä derivointi on yleensä se menetelmä mitä käytetään ja nämä vastaavat harjoitteet ovat tyypillisesti sitä varten laadittuja. Yhtälönmuodostusta ja derivaatan nollakohdan etsimistä. Sen jälkeen tarvittavat sijoitukset alkuperäiseen yhtälöön ja tulosten tarkastelu suhteessa realismiin, ellei ole kaivanut esiin määrittelyjoukkoa alunperin.

Osaatko kivi derivoida näitä? Jos et, tutustu siihen ensin.


Jos sinä ymmärrät Mtj:n selityksen, kerro se toki minullekin.

Jos olet lukiossa, niin millä luokalla? Tai missä muussa yhteydessä tämä on tullut vastaan? Minkä niminen kurssi? Pitkää vai lyhyttä matematiikkaa vaiko jotain muuta? Minkä ikäinen olet?

Tällaisia käsitellään lyhyen matematiikan kurssi 4:ssä.


Jos tuo kuvani edustaa tilannetta, antamani ratkaisu on jotakuinkin täydellinen. Siinä tosin muuttujien määrittely on tehty mainitsemallani pienellä erolla.

[kivi]

y
------------------------
I..........I............I
I..........I............I
I..........I............I
------------------------


Tuossa olisi kuva aitauksesta jossa I-kirjaimella tehdyt kolmen pystyt ovat kolme lyhyempää, ja viivoilla tehdyt ovat kaksi pitempää. Pisteet on koska muuten ei jotta noilla pystyviivoilla olisi etäisyys. Pelkkiä välilyöntejä ei ottanut näkyviin, olisivat olleet viivat vierekkäin. Mitään kiinteää seinä ei mielestäni tule.

Itse ymmärrän tuon kautta tuon mtJ:in selvityksen.

Homma tuli vastaan ammattikoulun takniikka osuuden matematiikan kirjasta En nyt muista että mikä kursseista oli kyseessä, mutta kokoanisuus on kelmen opintoviikon mittainen kokonaisuus. Kirjaan on myös merkattu että kyseinen tehtävä olisi ollut ammatikka kilpailuissa vuonna 2007, muistaakseni tuona vuonna. Asia tuli taas miettimisen alle kun aloin katselemaan kirjaa uudelleen koska olisi tarkoitus korottaa arvosanaa. Ikää on 19 vuotta.