Fysiikan ja kemian ilmiöt

[Aihki]

Veden pintajännitys ei taida kyseisessä mittakaavassa vaikuttaa. Sen sijaan veden syrjäyttäminen alkaa jossain vaiheessa vaatia oikeasti voimaa, en kyllä heti myöskään oikein usko,että se raja kulkisi juuri jossain DV:n koon alapuolella.

Tiedän kuitenkin, että veden pinnan rikkominen oikein tekee pinnan läpäisystä helpomman, pintaan tehdään sopiva "kolo".

[Totte]

Noniin, nyt on meneltemän rakentelu valmis.

Homma ei vaadi mitään iterointia, vaan tarvittava lasku tarkastellaan dimensiottoman korkeuden mukaan. Onnistuu siis käsin.

Kerroin (mitä vaatimattomasti kutsun Toten luvuksi), riippuu dimensiottomasta matkasta x_star seuraavalla tavalla:

T=0.8, jos x_star < 0.8

T=0.8/((1+ x_star-0.8)^0.48), muutoin

Tätä kerrointa käytetään siis pienentämään ilmanvastuksen tekemää työtä, mikä saadaan n.k. Lassen integraalista.

Lisäksi, mikäli x_star > 2.5, suoritetaan lasku paikalle x_star=2.5, sillä tässä saavutetaan terminaalinopeus. Lisäksi saadaan tietää, että ilmanvastus pitää ruveta ottamaan huomioon sen jälkeen, kun dimensioton matka x_star on noin 0.2, ennen sitä voidaan mennä ihan klassisella energialaskuilla.

Tulokset:


Kuva 1: Nopeus dimensiottoman matkan mukaan. Sininen numeerisesti laskettu. Tähdet menetelmän tuloksia.


Kuva 2: Nopeus matkan funktiona. Sininen numeerisesti laskettu. Punaiset tähdet laskettu ilman ilmanvastusta. Magentan väriset tähdet laskettu yllä kuvatulla menetelmällä.

Yritin muutella parametreja, ja homma näyttää toimivan, sillä muutokset laskuihin tehdään dimensiottoman matkan perusteella.

Harjoituksena hauska. Tietääkö esim. @Aihki onko näitä menetelmiä kehitetty ja onko lähestymistapa yhtään samanlainen?

[Aihki]

Enpä ole ihan noin nähnyt asiaa käsiteltävän, mutta erilaisia dimensiottomia suureita on käytetty paljon ennen laskennallista virtausmekaniikkaa. Tässäkin näkyvä vastuskerroin on yksi yleisimmistä ja käyttökelpoisimmista.

Kun ajattelee asiaa hieman eteenpäin niin luulen, että Toten menetelmä vastaa aika läheltä jos tehtäisiin käyränsovitus, jossa alkuosa on nopeus ilman vastusta ja pistettäisiin se lähestymään asymptoottisesti (tai lähes) rajanopeutta, jolle on olemassa helppo analyyttinen ratkaisu.

[Aihki]

Toten numeroleikki on toisaalta erittäin hyvä esimerkki tietokoneen hyötykäytöstä tietyn tyyppisiä reaalimaailman ongelmia ratkottaessa. Nopeuden ratkaiseminen analyyttisesti olisi saattanut olla varsin raskasta (tein diplomityössäni hieman samantyyppisen ongelman ratkaisun ja se oli kyllä ei-triviaali).

[Totte]

Kun ajattelee asiaa hieman eteenpäin niin luulen, että Toten menetelmä vastaa aika läheltä jos tehtäisiin käyränsovitus, jossa alkuosa on nopeus ilman vastusta ja pistettäisiin se lähestymään asymptoottisesti (tai lähes) rajanopeutta, jolle on olemassa helppo analyyttinen ratkaisu.

Niin, itse rajanopeushan on helposti määriteltävissä, mutta paikka missä se saavutetaan ei kai sitten enää ole analyyttisesti ratkaistavissa, ja sehän on tarpeen jos yleistä asymptoottista sovitusta halutaan tehtä.

Minun menetelmällähän nopeus on laskettavissa käsin minne tahansa (taskulaskinta joutuu ehkä käyttämään jos pitää laskea se ^0.48). Ei se tietenkään eksakti analyyttinen ratkaisua ole, mutta sen jälkeen kun se on tietokonepyörittelyn avulla kehitetty, tietokonetta ei enää laskemiseen tarvita (laske yksi analyyttisesti ratkeava integraali, laske T-arvo, sijoita molemmat kaavaan).

Pitää ihan mielenkiinnosta selvitää minkälaisia approksimaatioita löytyy.

[Aihki]

Niin, itse rajanopeushan on helposti määriteltävissä, mutta paikka missä se saavutetaan ei kai sitten enää ole analyyttisesti ratkaistavissa, ja sehän on tarpeen jos yleistä asymptoottista sovitusta halutaan tehtä.

Teoriassa näin; käytännössä on itselleni muutaman kerran käynyt niin, että käyränsovituksen pikaratkaisu on ollut "insinööriratkaisuksi" yleisen järjenkäytön kera riittävä.

Jos alkuosana käytetään vastuksetonta käyrää niin se jo määrittelee polynomin aika selvästi, eikä sillä ihan tarkalla kohdalla monesti ole nerkitystä. Täytyy muistaa, että vastuskerroin on yleensä vain kaksinumeroinen ja jälkimmäinenkin heittelee, tämä rajaa saavutettavan tarkkuuden aika hyvin.

[Totte]

Wikipedian mukaan (http://en.wikipedia.org/wiki/Free_fall" onclick="window.open(this.href);return false;) tuo ratkeaa kyllä ihan analyyttisesti (joskin se differentiaaliyhtälö ei varmaan ole ihan helppo ratkaista jos ei saa luntata), jolloin kaikenlaiset tällaiset approksimaatiot ovat oikeastaan vain hauskoja (joskin opettavaisia) leikkejä. Paitsi tietenkin jos ei ole laskinta. Silloin nuo ln cosh(x) voi jäädä laskematta, ja polynomit otetaan kiitollisena vastaan.

[PetriP]

Niin se on analyyttiseti ratkaistavissa KUN oletetaan että ilmanvastus on vakio ja että vetovoiman kiihtyvyys on vakio. Laitappa kumpi tahansa realistiseksi ja kokeile sitten

Ilman vastuksen muutos lienee useammin merkittävä. Vaikkapa korkealta tehtävässä laskvarjo hypyssä ennuste nopeudesta menisi pieleen jos ei ota huomioon ilman vastuksen muutosta.

[Aihki]

Tuossa myös todetaan, että ihminen saavuttaa rajanopeuden n. 450 m pudotuksessa, eli sillä matkalla ei ilman tiheyden ja vetovoiman muutoksella ole merkitystä.

Korkeissa laskuvarjohypyissä ilman tiheys taasen sitten muuttuu merkittävästi, vetovoiman muutoksen taitaa voida ensimmäisessä aproksimaatiossa unohtaa.

Ei tuo silti vielä tarkoita, että jos ro ja g ovat korkeuden funktioita etteikö ratkeasi, mutta saattaa jo olla helpompi ratkaista numeerisesti.

[Lasse Candé]

Niin se on analyyttiseti ratkaistavissa KUN oletetaan että ilmanvastus on vakio ja että vetovoiman kiihtyvyys on vakio. Laitappa kumpi tahansa realistiseksi ja kokeile sitten

En ihan ymmärrä tätä. Nuo oletuksethan ovat täysin väärät, paitsi toki jos putoamismatka on niin lyhyt ettei ilmanvastus muutu merkittävästi suhteessa maan vetovoimaan. Kuten toki vaikkapa esimerkkitapauksessamme.

Noin muuten on tietenkin niin että tämäntapaiset asiat ovat ratkaistavissa jopa täydelliseksi lausekkeeksi, mikäli oletetaan että maan vetovoimalle ja ilmanvastukselle on lausekkeet. Helppoa tämä ei varmaan ole siltikään. Olen ratkaissut vastaavantyyppisen tehtävän kerran suhteessa kirjaimin merkittyihin vakioihin ja muuttujiin, kun Tottemaisin menetelmin olisi saanut niin tyydyttäviä ratkaisuja kuin haluaa helpommalla. Ennustan että tuon ratkaisusta tulisi hieman ruma pituudessaan, mutta että se sisältäisi sinänsä nättejä elementtejä.

Tuota, nyt kun tarkemmin mietin, niin tarkoititkohan että oletetaan että putoamiskiihtyvyys ilman ilman vastusta on vakio ja että ilmanvastuksen lauseke on "kohdillaan"? (Jälkimmäinenhän on nopeuden funktio eikä siis vakio.)

[Totte]

Itse tajusin että puhutaan muuttuvasta tiheydestä ja gravitaatiosta. Tuo analyyttinen ratkaisu wikissähän ei oleta että itse ilmanvastus on vakio.

[Aihki]

Niin sen luin minäkin, nyt täytyy muista myös, että vaikka vastuskerroin on (lähes) vakio nopeuden funktiona niin vastus ei suinkaan ole. Vastuskerroinhan on nimenomaan normalisoitu dynaamisella paineella.

[Totte]

Sanoitko nyt jotain muuta kuin että vastus on v*v riippuvainen vaikka C_d on nopeuden funktiona vakio? Onko tossa ilmanvastuksessa vielä muita muuttujia?

[Jussi Häkkinen]

Sanoitko nyt jotain muuta kuin että vastus on v*v riippuvainen vaikka C_d on nopeuden funktiona vakio? Onko tossa ilmanvastuksessa vielä muita muuttujia?

Esim. kosteus.

[Aihki]

Joo, nimenomaan referoin v2 tekijään, tämähän on vastuskertoimessa sisällä, vaikkakaan ei näy jos et katso määritelmää. Sittenhän vastuskerroin on tietyllä alueella voimakkaasti Re riippuvainen ja noin yleensäkin sitä ei kannata juuri kahta numeroa tarkemmin yrittää käyttää.

Kosteus tulee mukaan tiheydessä, kostea ilma on kevyempää, mutta vaikutus on aika pieni.